Gleitender Durchschnitt In der Statistik. Ein gleitender Durchschnitt. Auch Rolling Average genannt. Bewegter Mittelwert. Walzmittel. Gleitenden zeitlichen Mittelwert. Oder laufender Durchschnitt. Ist ein Typ eines Finite-Impulse-Response-Filters, der verwendet wird, um einen Satz von Datenpunkten zu analysieren, indem eine Reihe von Mittelwerten von verschiedenen Teilmengen des vollständigen Datensatzes erzeugt wird. Bei einer Reihe von Zahlen und einer festen Teilmengengröße wird das erste Element des gleitenden Mittelwertes erhalten, indem der Durchschnitt der anfänglichen festen Teilmenge der Zahlenreihe genommen wird. Dann wird die Teilmenge durch Vorwärtsschieben modifiziert, dh ohne die erste Zahl der Reihe und schließt die nächste Zahl ein, die der ursprünglichen Teilmenge in der Reihe folgt. Dies erzeugt eine neue Teilmenge von Zahlen, die gemittelt wird. Dieser Vorgang wird über die gesamte Datenreihe wiederholt. Die graphische Linie, die alle (festen) Mittel verbindet, ist der gleitende Durchschnitt. Ein gleitender Durchschnitt ist ein Satz von Zahlen, von denen jeder der Mittelwert der entsprechenden Teilmenge eines größeren Satzes von Bezugspunkten ist. Ein gleitender Durchschnitt kann auch ungleiche Gewichte für jeden Datumswert in der Teilmenge verwenden, um bestimmte Werte in der Teilmenge hervorzuheben. Ein gleitender Durchschnitt wird häufig mit Zeitreihendaten verwendet, um kurzfristige Fluktuationen auszugleichen und längerfristige Trends oder Zyklen hervorzuheben. Die Schwelle zwischen Kurzzeit und Langzeit hängt von der Anwendung ab, und die Parameter des gleitenden Durchschnitts werden entsprechend eingestellt. Zum Beispiel wird es oft in der technischen Analyse von Finanzdaten, wie Aktienkurse verwendet. Renditen oder Handelsvolumina. Es wird auch in der Volkswirtschaft verwendet, um das Bruttoinlandsprodukt, die Beschäftigung oder andere makroökonomische Zeitreihen zu untersuchen. Mathematisch ist ein gleitender Durchschnitt eine Art von Faltung und kann daher als ein Beispiel eines bei der Signalverarbeitung verwendeten Tiefpassfilters betrachtet werden. Bei Verwendung mit Nicht-Zeitreihendaten filtert ein gleitender Durchschnitt höherfrequente Komponenten ohne irgendeine spezifische Verbindung zur Zeit, obwohl typischerweise eine Art von Anordnung impliziert wird. Vereinfacht betrachtet, kann es als eine Glättung der Daten betrachtet werden. Einfacher gleitender Durchschnitt Edit In Finanzanwendungen ist ein einfacher gleitender Durchschnitt (SMA) der ungewichtete Mittelwert der vorangegangenen n Datenpunkte. Allerdings wird in der Wissenschaft und Technik der Mittelwert normalerweise aus einer gleichen Anzahl von Daten auf beiden Seiten eines zentralen Wertes genommen. Dies stellt sicher, dass Variationen in dem Mittel mit den Variationen in den Daten ausgerichtet sind, anstatt zeitlich verschoben zu werden. Ein Beispiel für einen einfachen, gleich gewichteten laufenden Mittelwert für eine n-Tage-Stichprobe des Schlusskurses ist der Mittelwert der vorangegangenen n-Tage-Schlusskurse. Wenn diese Preise dann die Formel ist, wird bei der Berechnung aufeinanderfolgender Werte ein neuer Wert in die Summe und ein alter Wert fällt aus, dh eine vollständige Summation jedes Mal ist für diesen einfachen Fall unnötig, Der ausgewählte Zeitraum hängt von der Art der Bewegung von Wie kurz, mittelfristig oder langfristig. Finanziell kann das gleitende Durchschnittsniveau als Unterstützung in einem steigenden Markt oder Widerstand in einem fallenden Markt interpretiert werden. Wenn die verwendeten Daten nicht um den Mittelpunkt zentriert sind, liegt ein einfacher gleitender Durchschnitt hinter dem letzten Datumspunkt um die Hälfte der Probenbreite zurück. Ein Merkmal des SMA ist, dass, wenn die Daten eine periodische Fluktuation haben, dann das Anwenden eines SMA dieser Periode diese Variation beseitigen wird (der Durchschnitt, der immer enthält.) Ein SMA kann auch überproportional beeinflusst werden, wenn alte Datenpunkte wegfallen oder neue Daten hereinkommen Ein vollständiger Zyklus). Aber ein vollkommen regelmäßiger Zyklus kommt selten vor. 1 Für eine Reihe von Anwendungen ist es vorteilhaft, die Verschiebung zu vermeiden, die durch die Verwendung nur vergangener Daten induziert wird. Daher kann ein zentraler gleitender Durchschnitt berechnet werden, wobei Daten verwendet werden, die beiderseits des Punktes in der Reihe gleich beabstandet sind, wo der Mittelwert berechnet wird. Dies erfordert die Verwendung einer ungeraden Anzahl von Bezugspunkten im Probenfenster. Kumulierter gleitender Durchschnitt Bearbeiten In einem kumulativen gleitenden Durchschnitt. Kommen die Daten in einem geordneten Datenstrom an und der Statistiker möchte den Durchschnitt aller Daten bis zum aktuellen Bezugspunkt erhalten. Zum Beispiel kann ein Anleger den durchschnittlichen Preis aller Aktien-Transaktionen für eine bestimmte Aktie bis zur aktuellen Zeit wollen. Bei jeder neuen Transaktion kann der Durchschnittspreis zum Zeitpunkt der Transaktion für alle Transaktionen bis zu diesem Zeitpunkt unter Verwendung des kumulativen Durchschnitts, typischerweise eines gleich gewichteten Durchschnitts der Sequenz von i Werten x 1, berechnet werden. X i bis zur aktuellen Zeit: Die brute-force Methode, um dies zu berechnen, wäre, alle Daten zu speichern und die Summe zu berechnen und durch die Anzahl der Datumspunkte zu dividieren, sobald ein neuer Datumspunkt angekommen ist. Es ist jedoch möglich, einfach den kumulativen Mittelwert zu aktualisieren, wenn ein neuer Wert xi & sub1; verfügbar wird, unter Verwendung der Formel: Somit ist der aktuelle kumulative Durchschnitt für einen neuen Bezugspunkt gleich dem vorherigen kumulativen Durchschnitt plus der Differenz zwischen dem letzten Datumspunkt und dem Wert Vorherigen Durchschnitt geteilt durch die Anzahl der bisher erhaltenen Punkte. Wenn alle Nullpunkte ankommen (i N), wird der kumulative Mittelwert dem Enddurchschnitt entsprechen. Die Ableitung der kumulativen Durchschnittsformel ist unkompliziert. Mit Hilfe dieser Gleichung für CA i 1 ergibt sich: Gewichteter gleitender Durchschnitt Bearbeiten Ein gewichteter Durchschnitt ist ein beliebiger Durchschnitt, der Multiplikationsfaktoren hat, um unterschiedliche Gewichte für Daten an verschiedenen Positionen im Probenfenster zu erhalten. Mathematisch ist der gleitende Durchschnitt die Faltung der Nullpunkte mit einer festen Gewichtungsfunktion. Eine Anwendung entfernt die Pixelisierung aus einem digitalen grafischen Bild. In der technischen Analyse der Finanzdaten hat ein gewichteter gleitender Durchschnitt (WMA) die spezifische Bedeutung von Gewichten, die in der arithmetischen Progression abnehmen. 2 In einem n-day WMA hat der letzte Tag das Gewicht n. Die zweitletzte n 16087221601, etc. bis zu einem. Datei: Gewichtete gleitende Durchschnittsgewichte N15.png Wenn die WMA über aufeinanderfolgende Werte berechnet wird, ist die Differenz zwischen den Zählern von WMA M 1 und WMA M np M 1 1608722160 p M 16087221601608722160 p M 8722n1. Bezeichnet man die Summe p M 160160160160 p M 8722 n 1 mit der Summe M. Dann zeigt die Grafik rechts, wie die Gewichte vom höchsten Gewicht für die letzten Datumspunkte auf Null abnehmen. Sie kann mit den im folgenden exponentiellen gleitenden Durchschnitt verglichen werden. Exponentieller gleitender Durchschnitt Bearbeiten Ein exponentieller gleitender Durchschnitt (EMA), der auch als exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt (EWMA) bezeichnet wird, ist ein Typ eines unendlichen Impulsantwortfilters, der exponentiell abnehmende Gewichtungsfaktoren anwendet. Die Gewichtung für jeden älteren Nullpunkt nimmt exponentiell ab und erreicht niemals Null. Die Grafik rechts zeigt ein Beispiel für die Gewichtsabnahme. Die EMA für eine Reihe Y kann rekursiv berechnet werden: Der Koeffizient repräsentiert den Grad der Gewichtungsabnahme, einen konstanten Glättungsfaktor zwischen 0 und 1. Je höher die Anzahl der älteren Beobachtungen, desto schneller. Alternativ kann in Form von N Zeitperioden ausgedrückt werden, wobei 1601602 (N & sub1;) Scriptfehler Scriptfehler 91 Zitat 93 benötigt. Wenn zum Beispiel N 16016019 zu 1601600.1 äquivalent ist, kann die Halbwertszeit der Gewichte (das Intervall, Die Gewichte um einen Faktor von zwei abnehmen) ungefähr N 2.8854 (innerhalb von 1, wenn N 160gt1605). Yt ist der Wert zu einer Zeitperiode t. S t ist der Wert der EMA zu einem beliebigen Zeitpunkt t. S 1 ist undefiniert. S 1 kann auf verschiedene Weise initialisiert werden, am häufigsten durch S 1 bis Y 1. Obwohl andere Techniken existieren, wie etwa das Setzen von S 1 auf einen Durchschnitt der ersten 4 oder 5 Beobachtungen. Die Prominenz der S 1 - Initialisierungswirkung auf den resultierenden gleitenden Durchschnitt hängt von kleineren Werten ab, was die Wahl von S 1 relativ wichtiger macht als größere Werte, da eine höhere Diskontierung älterer Beobachtungen schneller erfolgt. Diese Formulierung ist nach Hunter (1986). 4 Durch wiederholte Anwendung dieser Formel für verschiedene Zeiten können wir schließlich S t als gewichtete Summe der Nullpunkte Y t schreiben. Als: Ein alternativer Ansatz von Roberts (1959) verwendet Y t anstelle von Y t 87221. 5 Diese Formel kann auch in den technischen Analysenausdrücken wie folgt ausgedrückt werden und zeigt, wie die EMA auf den letzten Datumspunkt zu, aber nur um einen Anteil der Differenz (jedesmal) geht: Dies ist eine unendliche Summe mit abnehmenden Terme. Die N Perioden in einer N-Day EMA geben nur den Faktor an. N ist kein Stopppunkt für die Berechnung in der Art, wie sie in einem SMA oder WMA ist. Für ausreichend große N. Die ersten N Datenpunkte in einer EMA repräsentieren etwa 86 des Gesamtgewichts bei der Berechnung: 6 Die Leistungsformel oben gibt einen Startwert für einen bestimmten Tag an, wonach die zuerst gezeigte aufeinanderfolgende Tageformel angewendet werden kann. Die Frage, wie weit zurück für einen Anfangswert gehen muss, hängt im schlimmsten Fall von den Daten ab. Große Preiswerte in alten Daten werden sich auf die Gesamtmenge auswirken, selbst wenn ihre Gewichtung sehr gering ist. Wenn die Preise kleine Variationen haben, dann kann nur die Gewichtung berücksichtigt werden. Das Gewicht, das durch Stoppen nach k Termonen weggelassen wird, liegt außerhalb des Gesamtgewichts. Um beispielsweise 99,9 des Gewichts zu haben, setzen Sie das obige Verhältnis auf 0,1 und lösen Sie für k. Für dieses Beispiel (99,9 Gewicht). Geänderter gleitender Durchschnitt Bearbeiten Ein modifizierter gleitender Durchschnitt (MMA), ein laufender gleitender Durchschnitt (RMA) oder ein glatter gleitender Durchschnitt ist definiert als: Anwendung zur Messung der Computerleistung Bearbeiten Einige Computerleistungsmetriken, z. B. Die durchschnittliche Prozesswarteschlangenlänge oder die durchschnittliche CPU-Auslastung eine Form des exponentiellen gleitenden Durchschnitts verwenden. Hier wird als Funktion der Zeit zwischen zwei Messungen definiert. Ein Beispiel für einen Koeffizienten, der dem aktuellen Messwert ein größeres Gewicht verleiht, und ein geringeres Gewicht für die älteren Messungen ist beispielsweise ein 15-Minuten-Durchschnitt L einer Prozesswarteschlangenlänge Q. Gemessen alle 5 Sekunden (Zeitdifferenz beträgt 5 Sekunden), wird berechnet als Andere Gewichtungen Bearbeiten Andere Gewichtungssysteme werden gelegentlich verwendet 8211 zum Beispiel im Aktienhandel mit einem Volumengewicht wird jedes Zeitintervall proportional zum Handelsvolumen gewichtet. Eine weitere Gewichtung, die von Aktuaren verwendet wird, ist Spencers 15-Point Moving Average 11 (ein mittlerer gleitender Durchschnitt). Die symmetrischen Gewichtungskoeffizienten sind -3, -6, -5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, -5, -6, -3. Außerhalb der Finanzwelt haben gewichtete Laufwege viele Formen und Anwendungen. Jede Gewichtungsfunktion oder Kernel hat seine eigenen Eigenschaften. In der Technik und Wissenschaft ist die Frequenz - und Phasenreaktion des Filters oft wichtig, um die gewünschten und unerwünschten Verzerrungen zu verstehen, die ein bestimmter Filter auf die Daten anwenden wird. Ein Mittel nicht nur glätten die Daten. Ein Mittelwert ist eine Form des Tiefpaßfilters. Die Auswirkungen des jeweiligen Filters sollten verstanden werden, um eine geeignete Wahl zu treffen. An dieser Stelle diskutiert die französische Version dieses Artikels die spektrale Wirkung von 3 Arten von Mitteln (kumulativ, exponentiell, Gaussian). Moving Median Edit Aus statistischer Sicht ist der gleitende Durchschnitt, wenn er zur Schätzung der zugrunde liegenden Tendenz in einer Zeitreihe verwendet wird, anfällig für seltene Ereignisse wie schnelle Schocks oder andere Anomalien. Eine robustere Schätzung des Trends ist der einfache sich bewegende Median über n Zeitpunkte: wo der Median gefunden wird, indem man beispielsweise die Werte innerhalb der Klammern sortiert und den Wert in der Mitte findet. Für größere Werte von n. Kann der Median effizient berechnet werden, indem eine indexierbare Skiplist aktualisiert wird. 12 Statistisch gesehen ist der gleitende Durchschnitt optimal, um den zugrunde liegenden Trend der Zeitreihe wiederherzustellen, wenn die Schwankungen um den Trend normal verteilt sind. Die Normalverteilung weist jedoch keine sehr hohe Wahrscheinlichkeit auf sehr große Abweichungen von der Tendenz hin, was erklärt, warum diese Abweichungen einen unverhältnismäßig großen Einfluss auf die Trendschätzung haben werden. Es kann gezeigt werden, dass, wenn die Fluktuationen stattdessen angenommen werden, dass Laplace verteilt ist. Dann ist der bewegliche Median statistisch optimal. 13 Für eine gegebene Varianz stellt die Laplace-Verteilung eine höhere Wahrscheinlichkeit bei seltenen Ereignissen als die normale dar, was erklärt, warum der bewegte Median Stöße besser toleriert als der bewegte Mittelwert. Wenn der einfache sich bewegende Median oben zentriert ist, ist die Glättung identisch mit dem Medianfilter, der Anwendungen zum Beispiel in der Bildsignalverarbeitung aufweist. Siehe auch Bearbeiten Dieser Artikel enthält eine Referenzliste. Aber seine Quellen bleiben unklar, weil es unzureichende Inlinezitationen hat. Bitte helfen Sie, diesen Artikel durch präzisere Zitate zu verbessern. 32 (Februar 2010) Der EWMA-Ansatz hat ein attraktives Merkmal: Er benötigt relativ wenig gespeicherte Daten. Um unsere Schätzung an jedem Punkt zu aktualisieren, benötigen wir nur eine vorherige Schätzung der Varianzrate und des jüngsten Beobachtungswertes. Ein weiteres Ziel der EWMA ist es, Veränderungen in der Volatilität nachzuvollziehen. Für kleine Werte beeinflussen jüngste Beobachtungen die Schätzung zeitnah. Für Werte, die näher an einem liegen, ändert sich die Schätzung langsam auf der Grundlage der jüngsten Änderungen in den Renditen der zugrundeliegenden Variablen. Die von JP Morgan erstellte und öffentlich zugängliche RiskMetrics-Datenbank nutzt die EWMA zur Aktualisierung der täglichen Volatilität. WICHTIG: Die EWMA-Formel geht nicht von einem lang anhaltenden durchschnittlichen Varianzniveau aus. So bedeutet das Konzept der Volatilität Reversion nicht von der EWMA erfasst. Die ARCHGARCH Modelle sind dafür besser geeignet. Ein sekundäres Ziel der EWMA ist es, Veränderungen in der Volatilität nachzuvollziehen, so dass für kleine Werte die jüngsten Beobachtungen die Schätzung sofort beeinflussen, und für Werte, die näher bei 1 liegen, ändert sich die Schätzung langsam auf die jüngsten Änderungen in den Renditen der zugrunde liegenden Variablen. Die RiskMetrics-Datenbank (erstellt von JP Morgan), die 1994 veröffentlicht wurde, verwendet das EWMA-Modell zur Aktualisierung der täglichen Volatilitätsschätzung. Das Unternehmen festgestellt, dass über eine Reihe von Marktvariablen, gibt dieser Wert der Prognose der Varianz, die am nächsten zu realisierten Varianz Rate kommen. Die realisierten Varianzraten an einem bestimmten Tag wurden als gleichgewichteter Durchschnitt der folgenden 25 Tage berechnet. Um den optimalen Wert von lambda für unseren Datensatz zu berechnen, müssen wir die realisierte Volatilität an jedem Punkt berechnen. Es gibt mehrere Methoden, so wählen Sie ein. Als nächstes wird die Summe der quadratischen Fehler (SSE) zwischen der EWMA-Schätzung und der realisierten Volatilität berechnet. Schließlich minimieren die SSE durch Variieren des Lambdawertes. Klingt einfach Es ist. Die größte Herausforderung besteht darin, einen Algorithmus zur Berechnung der realisierten Volatilität zu vereinbaren. Zum Beispiel wählten die Leute bei RiskMetrics die folgenden 25 Tage, um die realisierte Varianzrate zu berechnen. In Ihrem Fall können Sie einen Algorithmus wählen, der Tägliche Volumen, HILO und OPEN-CLOSE Preise nutzt. Q 1: Können wir EWMA verwenden, um die Volatilität mehr als einen Schritt voraus zu schätzen (oder prognostizieren) Die EWMA-Volatilitätsdarstellung setzt keine langfristige Durchschnittsvolatilität voraus, so dass die EWMA für jeden Prognosehorizont über einen Schritt hinaus eine Konstante zurückgibt Wert: Gleitender Durchschnitt und exponentielle Glättungsmodelle Als erster Schritt bei der Überwindung von Mittelwertsmodellen, Random-Walk-Modellen und linearen Trendmodellen können nicht-saisonale Muster und Trends mit einem gleitenden Durchschnitt oder Glättungsmodell extrapoliert werden. Die grundlegende Annahme hinter Mittelwertbildung und Glättungsmodellen ist, dass die Zeitreihe lokal stationär mit einem sich langsam verändernden Mittelwert ist. Daher nehmen wir einen bewegten (lokalen) Durchschnitt, um den aktuellen Wert des Mittelwerts abzuschätzen und dann als die Prognose für die nahe Zukunft zu verwenden. Dies kann als Kompromiss zwischen dem mittleren Modell und dem random-walk-ohne-Drift-Modell betrachtet werden. Die gleiche Strategie kann verwendet werden, um einen lokalen Trend abzuschätzen und zu extrapolieren. Ein gleitender Durchschnitt wird oft als "quotsmoothedquot" - Version der ursprünglichen Serie bezeichnet, da die kurzzeitige Mittelung die Wirkung hat, die Stöße in der ursprünglichen Reihe zu glätten. Durch Anpassen des Glättungsgrades (die Breite des gleitenden Durchschnitts) können wir hoffen, eine Art von optimaler Balance zwischen der Leistung des Mittelwerts und der zufälligen Wandermodelle zu erreichen. Die einfachste Art der Mittelung Modell ist die. Einfache (gleichgewichtige) Moving Average: Die Prognose für den Wert von Y zum Zeitpunkt t1, der zum Zeitpunkt t gemacht wird, entspricht dem einfachen Mittelwert der letzten m Beobachtungen: (Hier und anderswo werde ich das Symbol 8220Y-hat8221 stehen lassen Für eine Prognose der Zeitreihe Y, die am frühestmöglichen früheren Zeitpunkt durch ein gegebenes Modell durchgeführt wird.) Dieser Mittelwert wird auf den Zeitraum t (m1) 2 zentriert, was impliziert, daß die Schätzung des lokalen Mittels dazu tendiert, hinter dem wahr zu bleiben Wert des lokalen Mittels um etwa (m1) 2 Perioden. Somit ist das durchschnittliche Alter der Daten im einfachen gleitenden Durchschnitt (m1) 2 relativ zu der Periode, für die die Prognose berechnet wird, angegeben: dies ist die Zeitspanne, in der die Prognosen dazu tendieren, hinter den Wendepunkten der Daten zu liegen . Wenn Sie z. B. die letzten 5 Werte mitteln, werden die Prognosen etwa 3 Perioden spät sein, wenn sie auf Wendepunkte reagieren. Beachten Sie, dass, wenn m1, die einfache gleitende Durchschnitt (SMA) - Modell ist gleichbedeutend mit der random walk-Modell (ohne Wachstum). Wenn m sehr groß ist (vergleichbar der Länge des Schätzzeitraums), entspricht das SMA-Modell dem mittleren Modell. Wie bei jedem Parameter eines Prognosemodells ist es üblich, den Wert von k anzupassen, um den besten Quotienten der Daten zu erhalten, d. H. Die kleinsten Prognosefehler im Durchschnitt. Hier ist ein Beispiel einer Reihe, die zufällige Fluktuationen um ein sich langsam veränderndes Mittel zu zeigen scheint. Erstens können wir versuchen, es mit einem zufälligen Fußmodell, das entspricht einem einfachen gleitenden Durchschnitt von 1 Begriff entspricht: Das zufällige gehen Modell reagiert sehr schnell auf Änderungen in der Serie, aber dabei nimmt sie einen Großteil der quotnoisequot in der Daten (die zufälligen Fluktuationen) sowie das Quotsignalquot (das lokale Mittel). Wenn wir stattdessen einen einfachen gleitenden Durchschnitt von 5 Begriffen anwenden, erhalten wir einen glatteren Satz von Prognosen: Der 5-Term-einfache gleitende Durchschnitt liefert in diesem Fall deutlich kleinere Fehler als das zufällige Wegmodell. Das Durchschnittsalter der Daten in dieser Prognose beträgt 3 ((51) 2), so dass es dazu neigt, hinter den Wendepunkten um etwa drei Perioden zu liegen. (Zum Beispiel scheint ein Abschwung in Periode 21 aufgetreten zu sein, aber die Prognosen drehen sich erst nach mehreren Perioden später.) Beachten Sie, dass die Langzeitprognosen des SMA-Modells eine horizontale Gerade sind, genau wie beim zufälligen Weg Modell. Somit geht das SMA-Modell davon aus, dass es keinen Trend in den Daten gibt. Während jedoch die Prognosen aus dem Zufallswegmodell einfach dem letzten beobachteten Wert entsprechen, sind die Prognosen des SMA-Modells gleich einem gewichteten Mittelwert der neueren Werte. Die von Statgraphics berechneten Konfidenzgrenzen für die Langzeitprognosen des einfachen gleitenden Durchschnitts werden nicht breiter, wenn der Prognosehorizont zunimmt. Dies ist offensichtlich nicht richtig Leider gibt es keine zugrunde liegende statistische Theorie, die uns sagt, wie sich die Vertrauensintervalle für dieses Modell erweitern sollten. Allerdings ist es nicht zu schwer, empirische Schätzungen der Konfidenzgrenzen für die längerfristigen Prognosen zu berechnen. Beispielsweise können Sie eine Tabellenkalkulation einrichten, in der das SMA-Modell für die Vorhersage von 2 Schritten im Voraus, 3 Schritten voraus usw. innerhalb der historischen Datenprobe verwendet wird. Sie könnten dann die Stichproben-Standardabweichungen der Fehler bei jedem Prognosehorizont berechnen und dann Konfidenzintervalle für längerfristige Prognosen durch Addieren und Subtrahieren von Vielfachen der geeigneten Standardabweichung konstruieren. Wenn wir einen 9-Term einfach gleitenden Durchschnitt versuchen, erhalten wir sogar noch bessere Prognosen und mehr von einem nacheilenden Effekt: Das Durchschnittsalter beträgt jetzt 5 Perioden ((91) 2). Wenn wir einen 19-term gleitenden Durchschnitt nehmen, steigt das Durchschnittsalter auf 10 an: Beachten Sie, dass die Prognosen tatsächlich hinter den Wendepunkten um etwa 10 Perioden zurückbleiben. Welches Maß an Glättung ist am besten für diese Serie Hier ist eine Tabelle, die ihre Fehlerstatistiken vergleicht, darunter auch einen 3-Term-Durchschnitt: Modell C, der 5-Term-Gleitender Durchschnitt, ergibt den niedrigsten Wert von RMSE mit einer kleinen Marge über die 3 - term und 9-Term-Mittelwerte, und ihre anderen Statistiken sind fast identisch. So können wir bei Modellen mit sehr ähnlichen Fehlerstatistiken wählen, ob wir ein wenig mehr Reaktionsfähigkeit oder ein wenig mehr Glätte in den Prognosen bevorzugen würden. (Rückkehr nach oben.) Browns Einfache Exponentialglättung (exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt) Das oben beschriebene einfache gleitende Durchschnittsmodell hat die unerwünschte Eigenschaft, daß es die letzten k-Beobachtungen gleich und vollständig ignoriert. Intuitiv sollten vergangene Daten in einer allmählicheren Weise diskontiert werden - zum Beispiel sollte die jüngste Beobachtung ein wenig mehr Gewicht als die zweitletzte erhalten, und die 2. jüngsten sollten ein wenig mehr Gewicht als die 3. jüngsten erhalten, und bald. Das einfache exponentielle Glättungsmodell (SES) erfüllt dies. 945 bezeichnen eine quotsmoothing constantquot (eine Zahl zwischen 0 und 1). Eine Möglichkeit, das Modell zu schreiben, besteht darin, eine Reihe L zu definieren, die den gegenwärtigen Pegel (d. H. Den lokalen Mittelwert) der Serie, wie er aus Daten bis zu der Zeit geschätzt wird, darstellt. Der Wert von L zur Zeit t wird rekursiv von seinem eigenen vorherigen Wert wie folgt berechnet: Somit ist der aktuelle geglättete Wert eine Interpolation zwischen dem vorher geglätteten Wert und der aktuellen Beobachtung, wobei 945 die Nähe des interpolierten Wertes auf die neueste steuert Überwachung. Die Prognose für die nächste Periode ist einfach der aktuelle geglättete Wert: Äquivalent können wir die nächste Prognose direkt in Form früherer Prognosen und früherer Beobachtungen in einer der folgenden gleichwertigen Versionen ausdrücken. In der ersten Version ist die Prognose eine Interpolation zwischen vorheriger Prognose und vorheriger Beobachtung: In der zweiten Version wird die nächste Prognose durch Anpassung der bisherigen Prognose in Richtung des bisherigen Fehlers um einen Bruchteil 945 erhalten Zeit t. In der dritten Version ist die Prognose ein exponentiell gewichteter (dh diskontierter) gleitender Durchschnitt mit Abzinsungsfaktor 1-945: Die Interpolationsversion der Prognoseformel ist am einfachsten zu verwenden, wenn Sie das Modell in einer Tabellenkalkulation implementieren Einzelne Zelle und enthält Zellverweise, die auf die vorhergehende Prognose, die vorherige Beobachtung und die Zelle mit dem Wert von 945 zeigen. Beachten Sie, dass, wenn 945 1, das SES-Modell zu einem zufälligen Weg-Modell (ohne Wachstum) äquivalent ist. Wenn 945 0 ist, entspricht das SES-Modell dem mittleren Modell, wobei angenommen wird, dass der erste geglättete Wert gleich dem Mittelwert gesetzt ist. (Zurück zum Seitenanfang.) Das Durchschnittsalter der Daten in der Simple-Exponential-Glättungsprognose beträgt 1 945, bezogen auf den Zeitraum, für den die Prognose berechnet wird. (Dies sollte nicht offensichtlich sein, kann aber leicht durch die Auswertung einer unendlichen Reihe gezeigt werden.) Die einfache gleitende Durchschnittsprognose neigt daher zu Verzögerungen hinter den Wendepunkten um etwa 1 945 Perioden. Wenn beispielsweise 945 0,5 die Verzögerung 2 Perioden beträgt, wenn 945 0,2 die Verzögerung 5 Perioden beträgt, wenn 945 0,1 die Verzögerung 10 Perioden und so weiter ist. Für ein gegebenes Durchschnittsalter (d. H. Eine Verzögerung) ist die einfache exponentielle Glättungsprognose (SES) der simplen gleitenden Durchschnittsprognose (SMA) etwas überlegen, weil sie relativ viel mehr Gewicht auf die jüngste Beobachtung - i. e stellt. Es ist etwas mehr quresponsivequot zu Änderungen, die sich in der jüngsten Vergangenheit. Zum Beispiel haben ein SMA - Modell mit 9 Terminen und ein SES - Modell mit 945 0,2 beide ein durchschnittliches Alter von 5 Jahren für die Daten in ihren Prognosen, aber das SES - Modell legt mehr Gewicht auf die letzten 3 Werte als das SMA - Modell und am Gleiches gilt für die Werte von mehr als 9 Perioden, wie in dieser Tabelle gezeigt: 822forget8221. Ein weiterer wichtiger Vorteil des SES-Modells gegenüber dem SMA-Modell ist, dass das SES-Modell einen Glättungsparameter verwendet, der kontinuierlich variabel ist und somit leicht optimiert werden kann Indem ein Quotsolverquot-Algorithmus verwendet wird, um den mittleren quadratischen Fehler zu minimieren. Der optimale Wert von 945 im SES-Modell für diese Serie ergibt sich wie folgt: Das durchschnittliche Alter der Daten in dieser Prognose beträgt 10.2961 3,4 Perioden, was ähnlich wie bei einem 6-term einfachen gleitenden Durchschnitt ist. Die Langzeitprognosen aus dem SES-Modell sind eine horizontale Gerade. Wie im SMA-Modell und dem Random-Walk-Modell ohne Wachstum. Es ist jedoch anzumerken, dass die von Statgraphics berechneten Konfidenzintervalle nun in einer vernünftigen Weise abweichen und dass sie wesentlich schmaler sind als die Konfidenzintervalle für das Zufallswegmodell. Das SES-Modell geht davon aus, dass die Serie etwas vorhersehbarer ist als das Zufallswandermodell. Ein SES-Modell ist eigentlich ein Spezialfall eines ARIMA-Modells. So dass die statistische Theorie der ARIMA-Modelle eine solide Grundlage für die Berechnung der Konfidenzintervalle für das SES-Modell bildet. Insbesondere ist ein SES-Modell ein ARIMA-Modell mit einer nicht sonderbaren Differenz, einem MA (1) - Term und kein konstanter Term. Ansonsten als quotARIMA (0,1,1) - Modell ohne Konstantquot bekannt. Der MA (1) - Koeffizient im ARIMA-Modell entspricht der Größe 1 - 945 im SES-Modell. Wenn Sie zum Beispiel ein ARIMA-Modell (0,1,1) ohne Konstante an die hier analysierte Serie anpassen, ergibt sich der geschätzte MA (1) - Koeffizient auf 0,7029, was fast genau ein Minus von 0,2961 ist. Es ist möglich, die Annahme eines von Null verschiedenen konstanten linearen Trends zu einem SES-Modell hinzuzufügen. Dazu wird ein ARIMA-Modell mit einer nicht sonderbaren Differenz und einem MA (1) - Term mit konstantem, d. H. Einem ARIMA-Modell (0,1,1) mit konstantem Wert angegeben. Die langfristigen Prognosen haben dann einen Trend, der dem durchschnittlichen Trend über den gesamten Schätzungszeitraum entspricht. Sie können dies nicht in Verbindung mit saisonalen Anpassungen tun, da die saisonalen Anpassungsoptionen deaktiviert sind, wenn der Modelltyp auf ARIMA gesetzt ist. Sie können jedoch einen konstanten langfristigen exponentiellen Trend zu einem einfachen exponentiellen Glättungsmodell (mit oder ohne saisonale Anpassung) hinzufügen, indem Sie die Inflationsanpassungsoption im Prognoseverfahren verwenden. Die prozentuale Zinssatzquote (prozentuale Wachstumsrate) pro Periode kann als der Steigungskoeffizient in einem linearen Trendmodell geschätzt werden, das an die Daten in Verbindung mit einer natürlichen Logarithmuswandlung angepasst ist, oder es kann auf anderen unabhängigen Informationen bezüglich der langfristigen Wachstumsperspektiven beruhen . (Rückkehr nach oben.) Browns Linear (dh doppelt) Exponentielle Glättung Die SMA-Modelle und SES-Modelle gehen davon aus, dass es in den Daten keinen Trend gibt (der in der Regel in Ordnung ist oder zumindest nicht zu schlecht für 1- Wenn die Daten relativ verrauscht sind), und sie können modifiziert werden, um einen konstanten linearen Trend, wie oben gezeigt, zu integrieren. Was ist mit kurzfristigen Trends Wenn eine Serie eine unterschiedliche Wachstumsrate oder ein zyklisches Muster zeigt, das sich deutlich gegen das Rauschen auszeichnet, und wenn es notwendig ist, mehr als eine Periode vorher zu prognostizieren, könnte die Schätzung eines lokalen Trends auch sein Ein Problem. Das einfache exponentielle Glättungsmodell kann verallgemeinert werden, um ein lineares exponentielles Glättungsmodell (LES) zu erhalten, das lokale Schätzungen sowohl des Niveaus als auch des Trends berechnet. Das einfachste zeitvariable Trendmodell ist Browns lineares exponentielles Glättungsmodell, das zwei verschiedene geglättete Serien verwendet, die zu verschiedenen Zeitpunkten zentriert sind. Die Prognoseformel basiert auf einer Extrapolation einer Linie durch die beiden Zentren. (Eine weiterentwickelte Version dieses Modells, Holt8217s, wird unten diskutiert.) Die algebraische Form des Brown8217s linearen exponentiellen Glättungsmodells, wie die des einfachen exponentiellen Glättungsmodells, kann in einer Anzahl von unterschiedlichen, aber äquivalenten Formen ausgedrückt werden. Die quadratische quadratische Form dieses Modells wird gewöhnlich wie folgt ausgedrückt: Sei S die einfach geglättete Reihe, die durch Anwendung einfacher exponentieller Glättung auf Reihe Y erhalten wird. Das heißt, der Wert von S in der Periode t ist gegeben durch: (Erinnern wir uns, Exponentielle Glättung, so würde dies die Prognose für Y in der Periode t1 sein.) Dann sei Squot die doppelt geglättete Folge, die man erhält, indem man eine einfache exponentielle Glättung (unter Verwendung desselben 945) auf die Reihe S anwendet: Schließlich die Prognose für Ytk. Für jedes kgt1 ist gegeben durch: Dies ergibt e & sub1; & sub0; (d. h. Cheat ein Bit und die erste Prognose der tatsächlichen ersten Beobachtung gleich) und e & sub2; Y & sub2; 8211 Y & sub1; Nach denen die Prognosen unter Verwendung der obigen Gleichung erzeugt werden. Dies ergibt die gleichen Anpassungswerte wie die Formel auf der Basis von S und S, wenn diese mit S 1 S 1 Y 1 gestartet wurden. Diese Version des Modells wird auf der nächsten Seite verwendet, die eine Kombination von exponentieller Glättung mit saisonaler Anpassung veranschaulicht. Holt8217s Lineare Exponentialglättung Brown8217s LES-Modell berechnet lokale Schätzungen von Pegel und Trend durch Glätten der letzten Daten, aber die Tatsache, dass dies mit einem einzigen Glättungsparameter erfolgt, legt eine Einschränkung für die Datenmuster fest, die er anpassen kann: den Pegel und den Trend Dürfen nicht zu unabhängigen Preisen variieren. Holt8217s LES-Modell adressiert dieses Problem durch zwei Glättungskonstanten, eine für die Ebene und eine für den Trend. Zu jedem Zeitpunkt t, wie in Brown8217s-Modell, gibt es eine Schätzung L t der lokalen Ebene und eine Schätzung T t der lokalen Trend. Hier werden sie rekursiv aus dem zum Zeitpunkt t beobachteten Wert von Y und den vorherigen Schätzungen von Pegel und Trend durch zwei Gleichungen berechnet, die exponentielle Glättung separat anwenden. Wenn der geschätzte Pegel und der Trend zum Zeitpunkt t-1 L t82091 und T t-1 sind. Dann ist die Prognose für Y tshy, die zum Zeitpunkt t-1 gemacht worden wäre, gleich L t-1 T t-1. Wenn der tatsächliche Wert beobachtet wird, wird die aktualisierte Schätzung des Pegels rekursiv berechnet, indem zwischen Y tshy und seiner Prognose L t-1 T t-1 unter Verwendung von Gewichten von 945 und 1- 945 interpoliert wird. Die Änderung des geschätzten Pegels, Nämlich L t 8209 L t82091. Kann als eine verrauschte Messung des Trends zum Zeitpunkt t interpretiert werden. Die aktualisierte Schätzung des Trends wird dann rekursiv berechnet, indem zwischen L t 8209 L t82091 und der vorherigen Schätzung des Trends T t-1 interpoliert wird. Unter Verwendung der Gewichte von 946 und 1-946: Die Interpretation der Trendglättungskonstanten 946 ist analog zu der Pegelglättungskonstante 945. Modelle mit kleinen Werten von 946 nehmen an, dass sich der Trend mit der Zeit nur sehr langsam ändert, während Modelle mit Größere 946 nehmen an, dass sie sich schneller ändert. Ein Modell mit einem großen 946 glaubt, dass die ferne Zukunft sehr unsicher ist, da Fehler in der Trendschätzung bei der Prognose von mehr als einer Periode ganz wichtig werden. (Rückkehr nach oben) Die Glättungskonstanten 945 und 946 können auf übliche Weise geschätzt werden, indem der mittlere quadratische Fehler der 1-Schritt-Voraus-Prognosen minimiert wird. Wenn dies in Statgraphics getan wird, erweisen sich die Schätzungen als 945 0.3048 und 946 0,008. Der sehr geringe Wert von 946 bedeutet, dass das Modell eine sehr geringe Veränderung im Trend von einer Periode zur nächsten annimmt, so dass dieses Modell im Grunde versucht, einen langfristigen Trend abzuschätzen. Analog zur Vorstellung des Durchschnittsalters der Daten, die bei der Schätzung der lokalen Ebene der Reihe verwendet werden, ist das Durchschnittsalter der Daten, die bei der Schätzung des lokalen Trends verwendet werden, proportional zu 1 946, wenn auch nicht exakt gleich . In diesem Fall erweist sich dies als 10.006 125. Dies ist eine sehr genaue Zahl, da die Genauigkeit der Schätzung von 946 nicht wirklich 3 Dezimalstellen beträgt, sondern sie ist von der gleichen Größenordnung wie die Stichprobengröße von 100 Dieses Modell ist Mittelung über eine ziemlich große Geschichte bei der Schätzung der Trend. Das Prognose-Diagramm unten zeigt, dass das LES-Modell einen etwas größeren lokalen Trend am Ende der Serie schätzt als der im SEStrend-Modell geschätzte konstante Trend. Außerdem ist der Schätzwert von 945 fast identisch mit dem, der durch Anpassen des SES-Modells mit oder ohne Trend erhalten wird, so dass dies fast das gleiche Modell ist. Nun, sehen diese aussehen wie vernünftige Prognosen für ein Modell, das soll Schätzung einer lokalen Tendenz Wenn Sie 8220eyeball8221 dieser Handlung, sieht es so aus, als ob der lokale Trend nach unten am Ende der Serie gedreht hat Was ist passiert Die Parameter dieses Modells Wurden durch Minimierung des quadratischen Fehlers von 1-Schritt-Voraus-Prognosen, nicht längerfristigen Prognosen, abgeschätzt, wobei der Trend keinen großen Unterschied macht. Wenn alles, was Sie suchen, 1-Schritt-vor-Fehler sind, sehen Sie nicht das größere Bild der Trends über (sagen) 10 oder 20 Perioden. Um dieses Modell im Einklang mit unserer Augapfel-Extrapolation der Daten zu erhalten, können wir die Trendglättungskonstante manuell anpassen, so dass sie eine kürzere Basislinie für die Trendschätzung verwendet. Wenn wir beispielsweise 946 0,1 setzen, beträgt das durchschnittliche Alter der Daten, die bei der Schätzung des lokalen Trends verwendet werden, 10 Perioden, was bedeutet, dass wir den Trend über die letzten 20 Perioden oder so mitteln. Here8217s, was das Prognose-Plot aussieht, wenn wir 946 0,1 setzen, während 945 0,3 halten. Dies scheint intuitiv vernünftig für diese Serie, obwohl es wahrscheinlich gefährlich, diesen Trend mehr als 10 Perioden in der Zukunft zu extrapolieren. Was ist mit den Fehlerstatistiken Hier ist ein Modellvergleich für die beiden oben gezeigten Modelle sowie drei SES-Modelle. Der optimale Wert von 945 für das SES-Modell beträgt etwa 0,3, aber ähnliche Ergebnisse (mit etwas mehr oder weniger Reaktionsfähigkeit) werden mit 0,5 und 0,2 erhalten. (A) Holts linearer Exp. Glättung mit alpha 0.3048 und beta 0,008 (B) Holts linear exp. Glättung mit alpha 0,3 (E) Einfache exponentielle Glättung mit alpha 0,3 (E) Einfache exponentielle Glättung mit alpha 0,2 Ihre Stats sind nahezu identisch, so dass wir wirklich die Wahl auf der Basis machen können Von 1-Schritt-Vorhersagefehlern innerhalb der Datenprobe. Wir müssen auf andere Überlegungen zurückgreifen. Wenn wir glauben, dass es sinnvoll ist, die aktuelle Trendschätzung auf das, was in den letzten 20 Perioden passiert ist, zugrunde zu legen, können wir für das LES-Modell mit 945 0,3 und 946 0,1 einen Fall machen. Wenn wir agnostisch sein wollen, ob es einen lokalen Trend gibt, dann könnte eines der SES-Modelle leichter zu erklären sein, und würde auch für die nächsten 5 oder 10 Perioden mehr Mittelprognosen geben. (Rückkehr nach oben.) Welche Art von Trend-Extrapolation am besten ist: horizontal oder linear Empirische Evidenz deutet darauf hin, dass es, wenn die Daten bereits für die Inflation angepasst wurden (wenn nötig), unprätent ist, kurzfristige linear zu extrapolieren Trends sehr weit in die Zukunft. Die heutigen Trends können sich in Zukunft aufgrund unterschiedlicher Ursachen wie Produktveralterung, verstärkte Konkurrenz und konjunkturelle Abschwünge oder Aufschwünge in einer Branche abschwächen. Aus diesem Grund führt eine einfache exponentielle Glättung oft zu einer besseren Out-of-Probe, als ansonsten erwartet werden könnte, trotz ihrer quotnaivequot horizontalen Trend-Extrapolation. Damped Trendmodifikationen des linearen exponentiellen Glättungsmodells werden in der Praxis häufig auch eingesetzt, um in seinen Trendprojektionen eine Note des Konservatismus einzuführen. Das Dämpfungs-Trend-LES-Modell kann als Spezialfall eines ARIMA-Modells, insbesondere eines ARIMA-Modells (1,1,2), implementiert werden. Es ist möglich, Konfidenzintervalle um langfristige Prognosen zu berechnen, die durch exponentielle Glättungsmodelle erzeugt werden, indem man sie als Spezialfälle von ARIMA-Modellen betrachtet. (Achtung: Nicht alle Software berechnet die Konfidenzintervalle für diese Modelle korrekt.) Die Breite der Konfidenzintervalle hängt ab von (i) dem RMS-Fehler des Modells, (ii) der Art der Glättung (einfach oder linear) (iii) dem Wert (S) der Glättungskonstante (n) und (iv) die Anzahl der Perioden vor der Prognose. Im Allgemeinen breiten sich die Intervalle schneller aus, da 945 im SES-Modell größer wird und sich viel schneller ausbreiten, wenn lineare statt einfache Glättung verwendet wird. Dieses Thema wird im Abschnitt "ARIMA-Modelle" weiter erläutert. (Zurück zum Seitenanfang.)
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